Conectivas proposicionais e tabelas de verdade

Atentemos nas duas frases seguintes:

«Aveiro é uma cidade»

«Aveiro tem canais».

Cada uma delas exprime uma proposição simples. Com elas podemos formar outra frase e assim exprimir uma proposição complexa:

«Aveiro é uma cidade e tem canais».

Ao juntar as duas frases iniciais numa só, usámos a palavra «e», ou seja, usámos  uma conectiva. Podemos juntar as frases de diferentes maneiras, exprimindo diferentes proposições complexas. As conectivas à nossa disposição são as cinco apresentadas no quadro seguinte (que inclui, na coluna final, os respetivos símbolos lógicos):

Note-se que a negação é uma conectiva diferente das outras, pois ela não serve para unir proposições. Contudo, a negação é um operador verofuncional, como as restantes. Isso significa que dela depende o valor de verdade das proposições em que ocorre. Para se compreender o carácter verofuncional das conectivas, imagine-se que a Rita recebeu dois convites, um para ir ao cinema e o outro para ir ao teatro. Ela escolheu  apenas ir ao teatro. Nesse caso, a frase

«A Rita foi ao cinema ou ao teatro»

exprime uma proposição verdadeira. Por sua vez, a frase

«A Rita foi ao cinema e ao teatro»

exprime uma proposição falsa. Mas a única diferença nas duas frases é o uso de conectivas diferentes: a disjunção na primeira e a conjunção na segunda. O valor de verdade depende, pois, das conectivas usadas. Daí elas serem verofuncionais, o que as torna especialmente importantes. Saber em que condições certas proposições são verdadeiras ou falsas, implica saber como operam as conectivas.

As tabelas de verdade mostram-nos precisamente como operam as conectivas, ajudando-nos a determinar se uma dada proposição complexa é verdadeira ou falsa, e em que condições. Essas tabelas são formas simples de especificar as condições de verdade de qualquer proposição que envolva conectivas, mostrando todas as circunstâncias possíveis e também em quais delas a proposição é verdadeira (ou falsa).

Mas como se constrói uma tabela? Tomemos como exemplo a proposição expressa pela frase:

«A Rita foi ao cinema e ao teatro»

que é formada pela conjunção das duas frases:

«A Rita foi ao cinema»

«A Rita foi ao teatro».

Para não se estar sempre a repetir as mesmas frases, é mais prático substituir cada uma delas por letras. Assim, a letra P pode representar a proposição simples «A Rita foi ao cinema» e Q «A Rita foi ao teatro». É preciso uma espécie de dicionário para estabelecer o que P e Q significam, uma vez que tais letras podem servir para representar qualquer  outra proposição simples. Daí serem chamadas «variáveis proposicionais». As conectivas, por sua vez, têm um símbolo fixo, conforme o quadro anterior, pois elas são constantes lógicas. Usando estas convenções, ficamos com a fórmula

P ⋀ Q

que, graças ao dicionário, é fácil de interpretar. Qualquer proposição complexa pode, de resto, ser representada por uma fórmula que reproduza a sua forma lógica. Numa fórmula bem formada, uma variável só pode estar ligada a outra por meio de uma constante (ou conectiva), excetuando a negação.

A tabela de verdade seguinte mostra-nos, então, as condições de verdade da proposição complexa representada pela fórmula anterior.

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